Search-Space Size in Contraction Hierarchies

This thesis is concerned with a so-called speedup technique for Dijkstra’s algorithm: Contraction hierarchies. We present a model of contraction hierachies sufficiently sophisticated to capture real-world applications but yet concise enough to lend itself to theoretical investigations. This model reveals an interrelation between contraction hierarchies and filled graphs that directly relates the search space size and space consumption of contraction hierarchies to the height of elimination trees and the number of fill-edges in filled graphs, respectively. These observations facilitate the construction of contraction hierarchies with an upper bound ofO(tw(G) · log(n)) andO( √ n) on the maximum search space size and an upper bound ofO(tw(G)·n log(n)) andO(n log(n)) on their space consumption for graphs of treewidth tw(G) and graphs admitting recursive O( √ n)-separator decompositions. We further consider the problem of locally modifying contraction hierarchies to increase the performance of subsequent distance queries. Deutsche Zusammenfassung Diese Arbeit beschäftigt sich mit einer sogenannten Beschleunigungstechnik für Dijkstra’s Algorithmus: Contraction Hierarchies. Wir erarbeiten ein Modell, welches die, in der Praxis gebräuchlichen, heuristischen Contraction Hierarchies erfasst und sich trotzdem für theoretische Betrachtungen eignet. Insbesondere deckt dieses Modell einen unerwarteten Zusammenhang zwischen Contraction Hierarchies und den wesentlich älteren und besser untersuchten Problemen einen gefüllten Graphen mit wenigen Kanten und einen “elimination tree” geringer Höhe zu berechnen auf. Diese Beobachtungen ermöglichen die Konstruktion von Contraction Hierarchies mit garantierter maximaler Suchraumgröße O(tw(G) · log(n)) bzw. O( √ n) und garantiertem Platzverbrauch O(tw(G) · n log(n)) bzw. O(n log(n)) für Graphen von Baumbreite tw(G) bzw. Graphen mit Zerlegungen in Separatoren der GrößeO( √ n). Schlussendlich untersuchen wir noch inwieweit lokale Änderungen die Performanz von Distanz-Abfragen in Contraction Hierarchies beeinflussen. Declaration I hereby confirm that this document has been composed by myself, and describes my own work, unless otherwise acknowledged in the text. Erklärung Ich erkläre hiermit die vorliegende Arbeit selbständig verfasst zu haben und keine außer den angegebenen Quellen verwendet zu haben. Karlsruhe, den 15. Oktober 2012